尽管监督学习中存在大量关于经验风险最小化（ERM）的理论，但对于相关问题——随机凸优化（SCO）的经验风险最小化的当前理论理解仍然有限。在本研究中，我们通过利用平滑性和强凸性条件来改进风险界，从而加强了SCO领域内ERM的研究。首先，当随机函数是非负、凸且平滑时，且期望函数是Lipschitz连续的，我们建立了$\widetilde{O}(d/n + \sqrt{F_/n})$O(d/n+F/​n​)的风险界，其中$d$d是问题的维度，$n$n是样本数量，F_是最小风险。因此，当F_较小时，我们得到一个$\widetilde{O}(d/n)$O(d/n)的风险界，这类似于监督学习中ERM的$\widetilde{O}(1/n)$O(1/n)乐观率。其次，如果目标函数也是$λ$λ-强凸的，则我们证明了一个$\widetilde{O}(d/n + κF_/n)$O(d/n+κF/​n)的风险界，其中$κ$κ是条件数，并且当$n=\widetildeΩ(κd)$n=Ω(κd)时将其改进为$O(1/[λn^2] + κF_/n)$O(1/[λn2]+κF/​n)。结果，在$n$n较大且F_较小的情况下，我们得到了一个$O(κ/n^2)$O(κ/n2)的风险界，据我们所知，这是首个关于ERM的$O(1/n^2)$O(1/n2)类型的风险界。第三，我们强调上述结果是在统一框架下建立的，该框架允许我们在较弱条件下推导出新的风险界，例如不需要随机函数的凸性和期望函数的Lipschitz连续性。最后，我们展示了为了在监督学习中实现$O(1/[λn^2] + κF_*/n)$O(1/[λn2]+κF∗​/n)的风险界，对$n$n的要求可以从$\widetildeΩ(κd)$Ω(κd)替换为$Ω(κ^2)$Ω(κ2)，后者与维度无关。