湍流是混沌且非定常的，但其统计分布会收敛到一个统计稳态。工程中感兴趣的量通常表现为时间平均统计的形式，如 (\frac{1}{t} \int_{0}^{t} f(u(x,\tau;\theta)) d\tau \rightarrow F(x;\theta)) 当 (t \rightarrow \infty) 时，其中 (u(x,t;\theta)) 是带有参数 (\theta) 的纳维-斯托克斯方程的解。对 (F(x;\theta)) 进行优化在许多工程应用中具有重要意义，包括几何优化、流动控制和封闭建模。然而，这仍然是一个未解决的挑战，因为现有的计算方法无法扩展到物理上代表性的网格点数量。根本障碍在于湍流的混沌特性：使用伴随方法计算的梯度随着 (t \rightarrow \infty) 而呈指数发散。

我们开发了一种新的在线梯度流（OGF）方法，该方法可扩展至大自由度系统，并能够对混沌、非定常、解析湍流的稳态统计进行优化。该方法向前传播 (F(x;\theta)) 梯度的在线估计值，同时在线更新参数 (\theta)。算法的一个关键特点是完全在线性质，这有助于加快优化进程，并结合有限差分估计器以避免由于混沌性导致的梯度发散。所提出的 OGF 方法在三个混沌常微分方程和偏微分方程的优化中得到了验证：洛伦兹-63 方程、库拉莫托-西瓦申斯基方程以及可压缩、受迫、均匀各向同性湍流的纳维-斯托克斯解。在每种情况下，OGF 方法成功地将基于 (F(x;\theta)) 的损失减少了几个数量级，并准确恢复了最优参数。