奇异值分解是一种矩阵分解方法，对称阵特征向量分解的基础是谱分析，奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。

理论表述

假设 M 是一个 m×n 阶矩阵，其中的元素全部属于域 K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得 M = UΣV* ，其中 U 是 m×m 阶酉矩阵；Σ是 m×n 阶非负实数对角矩阵；而 V*，即 V 的共轭转置，是 n×n 阶酉矩阵，这样的分解就称作 M 的奇异值分解，Σ 对角线上的元素 Σi,i 即为 M 的奇异值。

在矩阵 M 的奇异值分解中 M = UΣV*

• V 的列（columns）组成一套对 M 的正交” 输入” 或” 分析” 的基向量。这些向量是 M*M 的特征向量。
• U 的列（columns）组成一套对 M 的正交” 输出” 的基向量。这些向量是 MM* 的特征向量。
• Σ对角线上的元素是奇异值，可视为是在输入与输出间进行的标量的” 膨胀控制” 。这些是 MM*  及 M*M 的特征值的非负平方根，并与 U 和 V 的行向量相对应。

图形表示与几何意义

奇异值分解可看作矩阵的三个分解步骤：旋转 Vt 、伸缩 Σ 、再旋转 U

奇异值分解应用

• 求广义逆阵
• 给出矩阵的列空间、零空间和秩的表示
• 求矩阵近似值

相关词：酉矩阵、谱分解

父级词：矩阵分解