核范数是矩阵奇异值的和，用于约束矩阵的低秩，对于稀疏性质的数据而言，其矩阵是低秩且会包含大量冗余信息，这些信息可被用于恢复数据和提取特征。

核范数定义

矩阵 X 的核范数定义式为：

根据上式可以得出，核范数等价于矩阵特征值的和，考虑 X 的特征值分解 ，可以得出以下结论：

凸性的证明

根据可知信息，矩阵诱导范数是凸的，即：

令 , 则 凸，故 凸，同时 由于 和 是对偶范数，故 凸（）。

梯度的求解

基于上述 S.V.D 假设，可以得出结论：

因此需要解出 ，考虑 ，故有：

所以：